Question

已知双曲线E：

x2

m

-

y2

5

=1．
（1）若m=4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
（2）若双曲线E的离心率e∈(

6

2

，

2

)，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）m=4时，双曲线方程转化为：

x2

4

-

y2

5

=1，先求出a，b，c，由此能求出双曲线的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程．
（2）由双曲线E：

x2

m

-

y2

5

=1，推导出e²=1+

5

m

，再由e∈(

6

2

，

2

)，能求出实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵双曲线E：

x2

m

-

y2

5

=1．
∴m=4时，双曲线方程转化为：

x2

4

-

y2

5

=1，
∴a=2，b=

5

，c=

4+5

=3，
∴双曲线的焦点坐标为F₁（-3，0），F₂（3，0），
双曲线的顶点坐标A₁（-2，0），A₂（2，0），
双曲线的渐近线方程为：y=±

5

2

x．
（2）∵双曲线E：

x2

m

-

y2

5

=1，
∴e2=

c2

a2

=

m+5

m

=1+

5

m

，
∵e∈(

6

2

，

2

)，
∴

3

2

＜1+

5

m

＜2，
解得5＜m＜10，
∴实数m的取值范围是（5，10）．

点评：本题考查双曲线的焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程的求法，考查参数的取值范围的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质，是中档题．