Question

已知b=-a²+3lna，d=c+2，则（a-c）²+（b-d）²的最小值为（　　）

• A、

  2

• B、2
• C、2

  2

• D、8

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数的最值及其几何意义,直线与圆锥曲线的关系

专题：导数的综合应用,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设b=y，a=x，则y=3lnx-x²，设c=x，d=y，则y=x+2，从而（a-c）²+（b-d）²就是曲线y=3lnx-x²与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，由此能求出（a-c）²+（b-d）²的最小值．

解答： 解：∵b=-a²+3lna，设b=y，a=x，
∴y=3lnx-x²
∵d=c+2，设c=x，d=y，∴y=x+2，
∴（a-c）²+（b-d）²
就是曲线y=3lnx-x²与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，
对曲线y=3lnx-x²求导：y'（x）=

3

x

-2x，
与y=x+2平行的切线斜率k=1=

3

x

-2x，
解得：x=1或x=-

3

2

（舍）
把x=1代入y=3lnx-x²，得：y=-1，
即切点为（1，-1），
切点到直线y=x+2的距离：

|1+1+2|

2

=2

2

，
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值就是8．
故选：D．

点评：本题考查代数和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用．