Question

已知函数y=f（x）的定义域和值域都是[-1，1]（其图象如图所示），函数g（x）=sinx，x∈[-π，π]．定义：当f（x₁）=0（x₁∈[-1，1]）且g（x₂）=x₁（x₂∈[-π，π]）时，称x₂是方程f（g（x））=0的一个实数根．则方程f（g（x））=0的所有不同实数根的个数是（　　）

• A、2
• B、4
• C、6
• D、8

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：通过图象可知方程f（x）=0数有4个非零实数解，由g（x）=sinx，x∈[-π，π]，当f（x₁）=0（x₁∈[-1，1]）且g（x₂）=x₁（x₂∈[-π，π]），即f[g（x）]=0根的个数推出正确结论．

解答： 解：当f（x₁）=0（x₁∈[-1，1]）且g（x₂）=x₁，即f[g（x）]=0
通过图象可知方程f（x）=0有4个非零实数解，分别设为t₁，t₂，t₃，t₄，
由已知中的图象可知：t₁，t₂，t₃，t₄∈（-1，1）
又∵函数g（x）=sinx，x∈[-π，π]，
∴g（x）∈[-1，1]，
∴g（x）分别为t₁，t₂，t₃，t₄时都有两个x值与之对应，
因此方程f（g（x））=0的所有不同实数根的个数是8个，
故选：D

点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，函数的图象，考查逻辑思维能力，是中档题．