Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，a+b=3．
（1）求椭圆C的方程．
（2）设A、B是椭圆C的上、下顶点，P是椭圆上异于A、B的任意一点，记直线PA的斜率为k，PB的斜率为m，求证：mk是定值．
（3）在（2）的条件下，直线PA、直线PB分别交直线y=-2于点N、M，P到Y=-2的距离为d，求

|MN|

d

的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推出

c a = 3 2 a+b=3

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由已知条件得A（0，1），B（0，-1），设P（x₀，y₀），则y02-1=-

x02

4

，由k =

y0-1

x0

，m=

y0+1

x0

，能求出mk是定值-

1

4

．
（3）直线PA：y=kx+1，交直线y=-2于N（-

3

k

，0），直线PB：y=mx-1，交直线y=-2于M（-

1

m

，0），P到y=-2的距离d=

y0+2

2

，由此能求出

|MN|

d

的最小值．

解答： （1）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，a+b=3，
∴

c a = 3 2 a+b=3

，解得a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）证明：∵A、B是椭圆C

x2

4

+y2=1的上、下顶点，
∴A（0，1），B（0，-1），
设P（x₀，y₀），则

x02

4

+y02=1，∴y02-1=-

x02

4

，
由k =

y0-1

x0

，m=

y0+1

x0

，
得km=

y0-1

x0

•

y0+1

x0

=

y02-1

x02

=

- x02 4

x02

=-

1

4

，
∴mk是定值-

1

4

．
（3）解：直线PA：y=kx+1，交直线y=-2于N（-

3

k

，0），
直线PB：y=mx-1，交直线y=-2于M（-

1

m

，0），
∴|MN|=-

3

k

+

1

m

=

k-3m

mk

=4（3m-k）
=4[

3(y0+1)

x0

-

y0-1

x0

]=

8(y0+2)

x0

．
P到y=-2的距离d=

|y0+2|

2

=

y0+2

2

，
∴

|MN|

d

=

8(y0+2) x0

y0+2 2

=

8 2

x0

≥

8 2

2

=4

2

．
∴

|MN|

d

的最小值为4

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的乘积是定值的证明，考查两线段比值为紧小值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．