Question

1．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{4x-y-2≤0}\\{x-y+1≥0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）最大值为1，则$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$的最小值8．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得a+2b=1，再由基本不等式求最值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{4x-y-2≤0}\\{x-y+1≥0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立，解得A（1，2）．
化目标函数z=ax+by为y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
由图可知，当直线y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为a+2b=1．
∴$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$=（$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$）（a+2b）=4+$\frac{4b}{a}+\frac{a}{b}$$≥4+2\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}{b}}=8$．
当且仅当a=2b时上式“=”成立．
∴$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为8．
故答案为：8．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．