Question

在△ABC中，已知sin²A+sin²B+sin²C=2，则△ABC为（　　）

• A、等腰三角形
• B、等边三角形
• C、直角三角形
• D、等腰直角三角形

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：利用三角函数的和差化积和积化和差公式将条件进行化简，即可得到结论．

解答： 解：∵sin²A+sin²B+sin²C=1-cos²A+1-

1

2

[cos2B+cos2C]
=2-cos²A-cos（B+C）cos（B-C） 
=2-cos²A+cosAcos（B-C） 
=2-cosA[cosA-cos（B-C）]
=2+2cosAsin

A+B-C

2

sin

A-B+C

2

=2+2cosAsin（

A+B+C

2

-C）sin（

A+B+C

2

-B）
=2+2cosAcosBcosC，
∴若sin²A+sin²B+sin²C=2，
则 2+2cosAcosBcosC=2，
即cosAcosBcosC=0，
∴cosA、cosB、cosC中必有一个为0，
即A，B，C必有一个为直角，
故三角形ABC是直角三角形，
故选：C

点评：本题主要考查三角形形状的判断，利用三角函数的和差化积和积化和差公式将条件进行化简是解决本题的关键．