Question

已知{a_n}为等比数列，a₁=1，a₄=64；数列{b_n}的前n项和S_n满足S_n=

3n2+n

2

（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
由a₁=1，a4=a1q3，得q=4．
∴a_n=4^n-1．
∵数列{b_n}的前n项和S_n满足S_n=

3n2+n

2

，
∴数列{b_n}为等差数列，a₁=2，
a₁+a₂=7，
∴公差d=3．
∴b_n=2+（n-1）×3=3n-1．
（2）由（1）可得：a_nb_n=（3n-1）•4^n-1．
∴T_n=2×1+5×4+8×4²+…+（3n-4）•4^n-2+（3n-1）•4^n-1，
4T_n=2×4+5×4²+…+（3n-4）•4^n-1+（3n-1）•4ⁿ，
∴-T_n=2+3×4+3×4²+…+3×4^n-1-（3n-1）×4ⁿ
=2+3×

4(4n-1-1)

4-1

-（3n-1）×4ⁿ=2+（2-3n）•4ⁿ，
∴3T_n=（3n-2）•4ⁿ+2．
②-①得：T_n=(n-

2

3

)•4n+

2

3

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“错位相减法”和等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．