题目内容
定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1），都有f(x)+f(y)=f(
)；②f（x）在（-1，1）上是单调递增函数，f(
)=1．
（1）求f（0）的值；
（2）证明f（x）为奇函数；
（3）解不等式f（2x-1）＜2．
| x+y |
| 1+xy |
| 1 |
| 2 |
（1）求f（0）的值；
（2）证明f（x）为奇函数；
（3）解不等式f（2x-1）＜2．
考点：抽象函数及其应用
专题：计算题,证明题,函数的性质及应用
分析：（1）令x=y=0代入f(x)+f(y)=f(
)即可；
（2）令y=-x∈（-1，1），则f(x)+f(-x)=f(
)=f(0)=0；
（3）由f(
)+f(
)=f(
)=f(
)=2可将f（2x-1）＜2化为
，从而解得．
| x+y |
| 1+xy |
（2）令y=-x∈（-1，1），则f(x)+f(-x)=f(
| x-x |
| 1-x2 |
（3）由f(
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 | ||
1+
|
| 4 |
| 5 |
|
解答：
解：（1）令x=y=0，则f（0）+f（0）=f（0），
∴f（0）=0；
（2）证明：令y=-x∈（-1，1），
则f(x)+f(-x)=f(
)=f(0)=0，
∴f（-x）=-f（x），
则f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（3）由于f(
)+f(
)=f(
)=f(
)=2，
故不等式可化为
，
即
，
则0＜x＜
．
则解集为（0，
）．
∴f（0）=0；
（2）证明：令y=-x∈（-1，1），
则f(x)+f(-x)=f(
| x-x |
| 1-x2 |
∴f（-x）=-f（x），
则f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（3）由于f(
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 | ||
1+
|
| 4 |
| 5 |
故不等式可化为
|
即
|
则0＜x＜
| 9 |
| 10 |
则解集为（0，
| 9 |
| 10 |
点评：本题考查了函数的奇偶性的证明与单调性的应用，属于中档题．
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已知定义在（-1，1）上的函数f（x）=x-sinx，若f（a-2）+f（4-a2）＜0，则a的取值范围是（ ）
A、（2，
| ||||
B、（
| ||||
| C、（0，2） | ||||
| D、（-∞，-1）∪（2，+∞） |
如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤