Question

17．如图所示在平面四边形ABCD中，AB=1，BC=2，△ACD为正三角形，则△BCD的面积的最大值为$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 ，运用余弦定理，表示出AC，进而用三角函数表示出S_△BCD．

解答 解：在△ABC中，设∠ACB=α，∠ACB=β，由余弦定理得：
AC²=1²+2²-2×1×2cosα=5-4cosα，
∵△ACD为正三角形，
∴CD²=5-4cosα，
由正弦定理得：$\frac{1}{sinβ}$=$\frac{AC}{sinα}$，
∴AC•sinβ=sinα，
∴CD•sinβ=sinα，
∵（CD•cosβ）²=CD²（1-sin²β）=CD²-sin²α=5-4cosα-sin²α=（2-cosα）²，
∵β＜∠BAC，∴β为锐角，CD•cosβ=2-cosα，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$•2•CD•sin（$\frac{π}{3}$+β）=CD•sin（$\frac{π}{3}$+β）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD•cosβ+$\frac{1}{2}$CD•sinβ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•（2-cosα）+$\frac{1}{2}$sinα=$\sqrt{3}$+sin（α-$\frac{π}{3}$），
当α=$\frac{5π}{6}$时，（S_△BCD）_max=$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查三角形的面积的最值的求法，注意运用余弦定理和面积公式，同时考查基本不等式的运用，属于中档题．