Question

已知直线l₁：4x-3y+6=0和直线l₂：x=-

p

2

，若抛物线C：y²=2px（p＞0）上的点到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值为2，则抛物线C的方程为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出抛物线上一点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出P到直线l₁和直线l₂的距离d₁和d₂，求出d₁+d₂，利用二次函数求最值的方法，求出距离之和的最小值，即可得出结论．

解答： 解：设抛物线上的一点P的坐标为（

2

p

a²，2a），则P到直线l₂：x=-

p

2

的距离d₂=

2

p

a²+

p

2

；
P到直线l₁：4x-3y+6=0的距离d₁=

| 8a2 p -6a+6|

5

，
则d₁+d₂=

| 8a2 p -6a+6|

5

+

2

p

a²+

p

2

=

18

5p

a²-

6

5

a+

6

5

+

p

2

，
当a=

p

3

时，P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值为2，
∴p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x
故答案为：y²=4x．

点评：此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．