Question

17．已知数列{a_n}的前n和为S_n，a₁=0，a_n+1=a_n+2$\sqrt{{a}_{n}+1}$+1，则a₅+S₄=（　　）

• A． 39
• B． 45
• C． 50
• D． 55

Answer 1

分析 推导出{$\sqrt{{a}_{n}+1}$}是首项为1，公差为1的等差数列，从而${a}_{n}={n}^{2}-1$，由此能求出a₅+S₄的值．

解答 解：∵数列{a_n}的前n和为S_n，a₁=0，a_n+1=a_n+2$\sqrt{{a}_{n}+1}$+1，
∴$\sqrt{{a}_{n+1}+1}-\sqrt{{a}_{n}+1}$=1，$\sqrt{{a}_{1}+1}=0$，
∴{$\sqrt{{a}_{n}+1}$}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴$\sqrt{{a}_{n}+1}$=1+（n-1）×1=n，
∴${a}_{n}={n}^{2}-1$，
∴${a}_{5}={5}^{2}-1$=24，
${S}_{4}={1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+{4}^{2}-4$=26．
∴a₅+S₄=24+26=50．
故选：C．

点评 本题考查数列的前5项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．