Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，E为PB的中点．
（Ⅰ）证明：CE⊥AB；
（Ⅱ）若二面角P-CD-A为45°，求直线CE与平面PAB所成角的正切值．
（Ⅲ）若PA=kAB，求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明CE⊥AB，即证AB⊥CE，根据已知条件容易想到取AB中点F，连接EF，CF，便可得到AB⊥EF，AB⊥CF，所以AB⊥平面CEF，所以AB⊥CE；
（Ⅱ）根据二面角的平面角的定义，以及线面垂直的判定定理及性质可知∠PDA是二面角P-CD-A的平面角，所以∠PDA=45°，所以PA=AD，并且由（Ⅰ）知∠CEF为CE与平面PAB所成的角，所以根据PA=AD即可求出tan∠CEF；
（Ⅲ）要求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值，需先找出这个二面角的平面角，先找平面PAB和平面PCD的交线，因为P点是这两个平面的公共点，所以交线过P点，并且发现，过P作平行于AB的直线PG，也平行于CD，所以PG是这两个平面的交线．并且容易说明PA⊥PG，PD⊥PG，所以∠DPA是平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的平面角，因为PA=kAB=kAD，所以这样即可求出cos∠DPA=

k

1+k2

．

解答： 解：（Ⅰ）如图，取AB的中点F，连结EF，FC；

则EF∥PA，CF∥AD；
∵PA⊥平面ABCD；
∴EF⊥平面ABCD，AB?平面ABCD；
∴EF⊥AB，即AB⊥EF；
AB⊥AD；
∴AB⊥CF，EF∩CF=F；
∴AB⊥平面EFC，CE?平面EFC；
∴AB⊥CE，即CE⊥AB；
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD；
∴PA⊥CD，即CD⊥PA；
又CD⊥AD；
∴CD⊥平面PAD，PD?平面PAD；
∴CD⊥PD，AD⊥CD；
∴∠PDA为二面角P-CD-A的平面角；
∴∠PDA=45°；
∴PA=AD；
∵AB=AD=2CD；
∴PA=AB=AD；
由（Ⅰ）知，∠CEF为CE与平面PAB所成的角；
因为tan∠CEF=

CF

EF

=

AD

EF

=

AD

1 2 PA

=2；
所以直线CE与平面PAB所成角的正切值为2；
（Ⅲ）过点P作PG∥AB；
由PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，∴PA⊥PG；
CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD；
∵CD∥AB∥PG，∴PG⊥PD，即PD⊥PG；
∵PG∥AB∥CD；
∴PG是平面PCD和平面PAB的交线；
∴∠APD为所求锐二面角的平面角；
∴cos∠APD=

PA

PD

=

k

1+k2

．

点评：考查线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，二面角、二面角的平面角及线面角的概念，以及求二面角的平面交点方法．