Question

9．设a₁=3，${a_n}=\frac{1}{2}{a_{n-1}}+1（n≥2，n∈{N^*}）$则数列{a_n}的通项公式是a_n=（　　）

• A． $\frac{{{2^n}+1}}{{{2^{n-1}}}}$
• B． $\frac{{{2^n}-1}}{{{2^{n-1}}}}$
• C． $\frac{{{2^n}+1}}{{{2^{n+1}}}}$
• D． $\frac{{{2^n}-1}}{{{2^{n+1}}}}$

Answer 1

分析 a₁=3，${a_n}=\frac{1}{2}{a_{n-1}}+1（n≥2，n∈{N^*}）$，变形为：a_n-2=$\frac{1}{2}$（a_n-1-2），利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a₁=3，${a_n}=\frac{1}{2}{a_{n-1}}+1（n≥2，n∈{N^*}）$，
变形为：a_n-2=$\frac{1}{2}$（a_n-1-2），
∴数列{a_n-2}是等比数列，首项为1，公比为$\frac{1}{2}$．
∴a_n-2=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
∴数列{a_n}的通项公式是a_n=2+$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$\frac{{2}^{n}+1}{{2}^{n-1}}$．
故选：A．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．