Question

16．已知直线l₁：y=mx+1和l₂：x=-my+1相交于点P，O为坐标原点，则P点横坐标是$\frac{1-m}{1{+m}^{2}}$（用m表示），$|{\overrightarrow{PO}}|$的最大值是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据两条直线方程组成方程组，求出交点P的坐标，再计算向量$\overrightarrow{PO}$以及$|{\overrightarrow{PO}}|$的最大值．

解答 解：直线l₁：y=mx+1和l₂：x=-my+1相交于点P，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+1}\\{x=-my+1}\end{array}\right.$，
∴x=-m（mx+1）+1，
解得x=$\frac{1-m}{1{+m}^{2}}$，
y=m×$\frac{1-m}{1{+m}^{2}}$+1=$\frac{1+m}{1{+m}^{2}}$，
∴P点横坐标是$\frac{1-m}{1{+m}^{2}}$；
∴$\overrightarrow{PO}$=（-$\frac{1-m}{1{+m}^{2}}$，-$\frac{1+m}{1{+m}^{2}}$），
∴${\overrightarrow{PO}}^{2}$=${（\frac{1-m}{1{+m}^{2}}）}^{2}$+${（\frac{1+m}{1{+m}^{2}}）}^{2}$=$\frac{2}{1{+m}^{2}}$≤2，且m=0时“=”成立；
∴$|{\overrightarrow{PO}}|$的最大值是$\sqrt{2}$．
故答案为：$\frac{1-m}{1{+m}^{2}}$，$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了直线方程的应用问题，也考查了平面向量的应用问题，是基础题目．