Question

8．设实数a，b满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}a+b-2≥0\\ b-a-1≤0\\ a≤1\end{array}\right.$，则$\frac{b+2}{a+2}$的取值范围为$[1，\frac{7}{5}]$．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用$\frac{b+2}{a+2}$的几何意义即可求出$\frac{b+2}{a+2}$的取值范围．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）：

z=$\frac{b+2}{a+2}$的几何意义为阴影部分的动点（a，b）到定点P（-2，-2）连线的斜率的取值范围．
由图象可知当点位于B时，直线的斜率最大，当点位于A时，直线的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{a+b-2=0}\\{b-a-1=0}\end{array}\right.$，解得B（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴BP的斜率k=$\frac{\frac{3}{2}+2}{\frac{1}{2}+2}$=$\frac{7}{5}$，由$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{a+b-2=0}\end{array}\right.$可得A（1，1）
OP的斜率k=$\frac{1+2}{1+2}$=1，
∴-3≤z≤$\frac{7}{5}$．
故答案为：$[1，\frac{7}{5}]$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义是解决本题的关键，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．