Question

20．如图，三棱锥C-ABD的棱AB在平面α内，棱CD在平面α外，平面CAB⊥平面α，点D在平面α内的射影为E，且满足EA⊥EB，AC=BC=EA=EB=2，DE=2$\sqrt{2}$．
（1）求证：AE∥平面BCD；
（2）求二面角E-CD-B的正弦值．

Answer 1

分析 （1）延长DC交平面α于F，连接AF，BF，EF，AB相交于G，利用线面平行的判定定理进行证明即可．
（2）建立空间坐标系，利用向量法进行求解即可．

解答 （1）证明：延长DC交平面α于F，连接AF，BF，EF，AB相交于G，
∵EA⊥EB，AC=BC=EA=EB，
∴△AEB≌△ACB，
则∠ACB=∠AEB=90°，
则AC⊥BC，
∵D在平面α内的射影为E，
∴DE⊥面ABE，
∵平面CAB⊥平面α，
∴DE∥平面CAB，
∵平面DEF∩平面ACB=CG，
∴DE∥CG，
∵AC=BC，∴G是AB的中点，
则四边形AEBF为正方形，则AE∥BF，
∵AE?平面BCD；BF?平面BCD；
∴AE∥平面BCD；
（2）建立以E为坐标原点的空间直角坐标系如图：
∵AC=BC=EA=EB=2，DE=2$\sqrt{2}$．
∴A（2，0，0），E（0，0，0），B（0，2，0），D（0，0，2$\sqrt{2}$），
G（1，1，0），F（2，2，0），
则$\overrightarrow{AG}$=（-1，1，0）为平面CED的一个法向量，
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面CDB即平面DFB的法向量，
则$\overrightarrow{DF}$=（2，2，-2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BF}$=（2，0，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=2x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DF}=2x+2y-2\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=\sqrt{2}z}\end{array}\right.$，令z=1，则y=$\sqrt{2}$，
即$\overrightarrow{m}$=（0，$\sqrt{2}$，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{AG}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AG}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{AG}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}•\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+1}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{AG}$＞=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}=\sqrt{1-\frac{3}{9}}=\sqrt{\frac{6}{9}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
即二面角E-CD-B的正弦值是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查线面平行的证明以及空间角的求解，根据条件建立空间直角坐标系，利用向量法是解决空间角常用的方法，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，难度较大．