Question

10．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的短轴的一个端点B与两焦点F₁，F₂组成三角形的周长为8+8$\sqrt{2}$，且F₁B⊥F₂B，求椭圆方程．

Answer 1

分析 当椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的焦点为（±c，0），由题意可得，2a+2c=8+8$\sqrt{2}$，2c=$\sqrt{2}$a，解方程可得a，c，再由a，b，c的关系，计算即可得到所求方程，同理可得焦点在y轴上的方程．

解答 解：当椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的焦点为（±c，0），
由题意可得，2a+2c=8+8$\sqrt{2}$，
2c=$\sqrt{2}$a，
解方程可得a=4$\sqrt{2}$，c=4，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=4，
可得椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{32}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1；
当椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的焦点为（0，±c），
由题意可得2b+2c=8+8$\sqrt{2}$，
2c=$\sqrt{2}$b，
解方程可得b=4$\sqrt{2}$，c=4，a=$\sqrt{{b}^{2}-{c}^{2}}$=4，
可得椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{32}$=1．
综上可得，椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{32}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1或$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{32}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的性质和方程思想，考查运算能力，属于中档题．