Question

16．设a₁=1，且a_n+1=3a_n+2•3ⁿ，（n∈N₊），求a_n．

Answer 1

分析 由数列递推式可得数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}}{3}=\frac{1}{3}$为首项，以$\frac{2}{3}$为公差的等差数列，求出等差数列的通项公式后可得a_n．

解答 解：由a_n+1=3a_n+2•3ⁿ，两边同时除以3ⁿ⁺¹得：
$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}=\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}+\frac{2}{3}$，即$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=\frac{2}{3}$．
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}}{3}=\frac{1}{3}$为首项，以$\frac{2}{3}$为公差的等差数列，
则$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}（n-1）=\frac{2}{3}n-\frac{1}{3}$，
∴${a}_{n}=（2n-1）•{3}^{n-1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．