Question

7．已知f（x）=4^x-3•2^x+3的值域为[7，43]，求x范围．

Answer 1

分析 令2^x=t，则t＞0，换元可得y=t²-3t+3=（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，由二次函数的性质可得t的范围，进而可得x的范围．

解答 解：令2^x=t，则t＞0，
换元可得y=t²-3t+3=（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
令t²-3t+3=7可解得t=4，或t=-1（舍去），
令t²-3t+3=43可解得t=8，或t=-5（舍去），
∵y=t²-3t+3=（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$在（0，$\frac{3}{2}$）单调递减，
在（$\frac{3}{2}$，+∞）单调递增，且当t=0时y=3，当t=$\frac{3}{2}$时y=$\frac{3}{4}$，
故可得t的范围为[4，8]，即2^x∈[4，8]，
解得x的范围为[2，3]

点评 本题考查指数函数和二次函数的值域，换元是解决问题的关键，属基础题．