Question

9．（1）已知数列{a_n}中，${a_1}=\frac{1}{2}$，${a_{n+1}}=sin（{\frac{π}{2}{a_n}}）（{n∈{{N}^*}}）$，S_n为数列{a_n}的前n项和，求证：${S_n}＞n-\frac{5}{2}$．
（2）在数列{a_n}中，a₁=1，${a}_{n+1}=c{a}_{n}{+c}^{n+1}（2n+1）$，n∈N^*，其中实数c≠0．
（Ⅰ） 求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 若对一切k∈N^*有a_2k＞a_2k-1，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得1-a_n+1=1-sin（$\frac{π}{2}$a_n），令b_n=1-a_n，T_n为数列{b_n}的前n项和，运用分析法证明，结合x＞0时，sinx＜x，运用等比数列的求和公式，即可得证；
（2）（Ⅰ）在数列{a_n}中，a₁=1，${a}_{n+1}=c{a}_{n}{+c}^{n+1}（2n+1）$，n∈N^*，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{c}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{c}^{n}}$+2n+1，运用数列恒等式，结合等差数列的求和公式，化简即可得到所求；
（Ⅱ）由对一切k∈N^*有a_2k＞a_2k-1，可得一切k∈N^*有4（c²-c）k²+4ck-c²+c-1＞0．设f（x）=4（c²-c）x²+4cx-c²+c-1，求出对称轴和f（1）＞0，及c²-c≥0，可得c的范围，证c在这个范围内不等式恒成立．即可得到所求范围．

解答 解：（1）证明：数列{a_n}中，${a_1}=\frac{1}{2}$，${a_{n+1}}=sin（{\frac{π}{2}{a_n}}）（{n∈{{N}^*}}）$，
可得1-a_n+1=1-sin（$\frac{π}{2}$a_n），
令b_n=1-a_n，T_n为数列{b_n}的前n项和，
由S_n为数列{a_n}的前n项和，要证${S_n}＞n-\frac{5}{2}$，
只需证n-S_n＜$\frac{5}{2}$，即证T_n＜$\frac{5}{2}$，
由b_n+1=1-sin（$\frac{π}{2}$（1-b_n））=1-sin（$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{2}$b_n）=1-cos$\frac{π}{2}$b_n=2sin²$\frac{π}{4}$b_n，
＜2（$\frac{π}{4}$b_n）²≤$\frac{{π}^{2}}{16}$b_n，
即T_n＜$\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{{π}^{2}}{16}}$=$\frac{8}{{16-π}^{2}}$＜1.305＜$\frac{5}{2}$，
则${S_n}＞n-\frac{5}{2}$成立；
（2）（Ⅰ）在数列{a_n}中，a₁=1，${a}_{n+1}=c{a}_{n}{+c}^{n+1}（2n+1）$，n∈N^*，
可得$\frac{{a}_{n+1}}{{c}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{c}^{n}}$+2n+1，
即有$\frac{{a}_{n}}{{c}^{n}}$=$\frac{{a}_{1}}{c}$+（$\frac{{a}_{2}}{{c}^{2}}$-$\frac{{a}_{1}}{c}$）+（$\frac{{a}_{3}}{{c}^{3}}$-$\frac{{a}_{2}}{{c}^{2}}$）+…+（$\frac{{a}_{n}}{{c}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{c}^{n-1}}$）=$\frac{1}{c}$+3+5+…+2n-1=$\frac{1}{c}$+n²-1，
可得a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1，
（Ⅱ）由对一切k∈N^*有a_2k＞a_2k-1，可得
一切k∈N^*有4（c²-c）k²+4ck-c²+c-1＞0．
设f（x）=4（c²-c）x²+4cx-c²+c-1，对称轴为x=-$\frac{1}{2c-1}$，
由f（1）=3c²+c-1＞0，可得c＞$\frac{-1+\sqrt{13}}{6}$或c＜$\frac{-1-\sqrt{13}}{6}$，
由c²-c≥0，即c≥1或c≤0，即有c≥1或c＜$\frac{-1-\sqrt{13}}{6}$，
下面证c在这个范围内不等式恒成立．
当c≥1时，f（x）的对称轴为x=-$\frac{1}{2c-1}$＜0，f（1）＞0，得证x≥1时，f（x）＞0成立；
当c＜$\frac{-1-\sqrt{13}}{6}$时，f（x）的对称轴为x=-$\frac{1}{2c-1}$＜$\frac{1}{2}$，可得f（x）在（1，+∞）递增，f（1）＞0，
可得x≥1时，f（x）＞0成立．
综上可得，c的范围是（-∞，$\frac{-1-\sqrt{13}}{6}$）∪[1，+∞）．

点评 本题考查数列不等式的证明，注意运用分析法，结合正弦函数的图象和性质，考查数列通项公式的求法，注意运用数列恒等式，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用构造函数法，考查运算和推理能力，属于难题．