Question

9．某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，AB长要超过4米（不含4米），C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小1米，∠BCD=60°
（1）若CD=x，BC=y，将支架的总长度表示为y的函数，并写出函数的定义域．（注：支架的总长度为图中线段AB、BD和CD的长度之和）
（2）如何设计AB、CD的长，可使支架总长度最短．

Answer 1

分析 （1）根据题意，CD=x，则BD=（x-1）m，设CB=y，那么支架的总长度为AC+BC+BD+CD，利用余弦定理把各边长关系建立起来，可得总长度表示为y的函数．
（2）根据（1）中的总长度y的函数关系式，利用基本不等式的性质求解最小值．即支架最短总长度．

解答 解：（1）根据题意，由CD=x，则BD=（x-1）m，C为AB的中点，AC=BC，设CB=y．
则支架的总长度为AC+BC+BD+CD，则总长度l=2y+2x+1．
在△CBD中，由余弦定理可得：x²+y²-2xycos60°=（x-1）²，
化简得：y²-xy+2x-1=0，
则$x=\frac{{{y^2}-1}}{y-2}$，
总长度$l=2y+2×\frac{{{y^2}-1}}{y-2}-1=2y+\frac{{2{y^2}-2}}{y-2}-1$，
由题中条件得2y＞4，即y＞2．
（2）由（1）可得：总长度l=$\frac{2{y}^{2}-2}{y-2}+2y-1$，（y＞2），
设y-2=t（t＞0），
则总长度$l=2•\frac{{{{（{t+2}）}^2}-1}}{t}-2（{t+2}）-1=2（{t+4+\frac{3}{t}}）+2t+3=4t+\frac{6}{t}+11$，
∵t＞0
由基本不等式可知：$4t+\frac{6}{t}≥4\sqrt{6}$，
有且仅当4t²=6，即$t=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$时成立，
又由$t=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，满足t＞0．
∴$y=\frac{{\sqrt{6}}}{2}+2$，
∴$x=\frac{{3\sqrt{6}+8}}{2}$，
∴当$AB=\sqrt{6}+4，CD=\frac{{8+3\sqrt{6}}}{2}$时，金属支架总长度最短．

点评 本题考查了余弦定理在实际生活中的运用能力和计算能力，注意定义域的问题．属于中档题．