Question

19．已知$\overrightarrow{a}$=（5$\sqrt{3}$cosx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（sinx，2cosx），记函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{b}$|²．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积公式得到函数解析式，并化简，得到函数周期；
（2）解不等式$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$得到x范围即为所求．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{b}$|²，
$\begin{array}{l}f（x）=5\sqrt{3}cosxsinx+{sin^2}x+6{cos^2}x=\frac{{5\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1-cos2x}{2}+3（1+cos2x）\\=\frac{{5\sqrt{3}sin2x+5cos2x+7}}{2}=5sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{7}{2}\end{array}$
∴$T=\frac{2π}{2}=π$．
（2）解：不等式$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$得
∴$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$，f（x）单调递增区间为$[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]\;（k∈Z）$．

点评 本题考查了平面向量的运算以及三角函数式的化简和正弦函数的性质运用；属于中档题．