Question

16．哈六中在2017年3月中旬举办了一次知识竞赛，经过层层筛选，最后五名同学进入了总决赛．在进行笔答题知识竞赛中，最后一个大题是选做题，要求参加竞赛的五名选手从2道题中选做一道进行解答，假设这5位选手选做每一题的可能性均为$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求其中甲乙2位选手选做同一道题的概率．
（Ⅱ）设这5位选手中选做第1题的人数为X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （I）利用相互独立事件的概率公式，求出甲、乙2名学生选做同一道题的概率；
（Ⅱ）确定X的取值，求出相应的概率，即可求出X的分布列及数学期望．

解答 解：（Ⅰ）设事件A表示“甲选做第1题”，事件B表示“乙选做第1题”，
则“甲选做第2题”为$\overline{A}$，“乙选做第2题”为$\overline{B}$；
∴甲、乙2位选手选做同一道题的事件为“AB+$\overline{A}$$\overline{B}$”，且事件A、B相互独立；
∴P（AB+$\overline{A}$$\overline{B}$）=P（A）P（B）+P（$\overline{A}$）P（$\overline{B}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$+（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，且X～B（5，$\frac{1}{2}$）；
∴P（X=k）=${C}_{5}^{k}$•${（\frac{1}{2}）}^{k}$•${（1-\frac{1}{2}）}^{5-k}$=${C}_{5}^{k}$•${（\frac{1}{2}）}^{5}$，k=0，1，2，3，4，5；
∴变量X的分布列为：

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{32}$	$\frac{5}{32}$	$\frac{10}{32}$	$\frac{10}{32}$	$\frac{5}{32}$	$\frac{1}{32}$

X的数学期望为EX=0×$\frac{1}{32}$+1×$\frac{5}{32}$+2×$\frac{10}{32}$+3×$\frac{10}{32}$+4×$\frac{5}{32}$+5×$\frac{1}{32}$=$\frac{5}{2}$
（或EX=np=5×$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查了概率知识的运用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与期望计算问题，是中档题．