某公司为了实现2015年1000万元利润的目标.准备制定一个激励销售人员的奖励方案:销售利润达到10万元时.按销售利润进行奖励.且奖金数额y随销售利润x的增加而增加.但奖金数额不超过5万元.同时奖金数额不超过利润的25%.现有三个奖励模型:y1=0.025x.y2=1.003x.y3=log7x+1.问其中是否有模型能完全符合公司的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

某公司为了实现2015年1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y₁=0.025x，y₂=1.003^x，y₃=log₇x+1，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？说明理由．（参考数据：1.003⁶⁰⁰≈6，7⁴=2401）

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：由题意，当x∈[10，1000]时，模型需同时满足①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25，对y₁=0.025x，y₂=1.003^x，y₃=log₇x+1，三个函数逐一分析即可．

解答： 解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%
（1）y=0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；…（2分）
（2）y=1.003^x，易知满足①，但当x＞600时，y＞6不满足公司要求；…（4分）
（3）y₃=log₇x+1易知满足①，
当x∈[10，1000]时，y₃≤log₇1000+1＜log₇2401+1＜5，满足②，…（7分）
对于③，设F(x)=lo

+1-25%x，F′（x）=

xln7

≤

10ln7

＜0，F_max（x）=F（10）＜0，满足条件③．…（11分）
所以，只有y₃=log₇x+1满足题意．…（12分）

点评：本题考查函数模型的选择与应用，构造函数F(x)=lo

+1-25%x，利用导数研究其单调性与最值是关键，也是难点所在，突出考查转化思想与综合分析的能力，属于中档题．

广告支出x（单位：万元）	1	2	3	4
销售收入y（单位：万元）	12	28	42	56

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