Question

已知函数f（x）=lnx-ax+1．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线l与直线4x+3y-3=0垂直，求实数a的值；
（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：ln（n+1）＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

（n∈N^*）．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的定义域，求出原函数的导函数，得到f′（1），由y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线l与直线4x+3y-3=0垂直列式求得a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的导函数可知，当a≤0时不合题意，当a＞0时求出函数的单调区间，进一步求出函数的最大值，由最大值小于等于0求解a的范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得lnx＜x-1在x∈（0，1]上恒成立．令x=

n

n+1

得到ln

n

n+1

＜-

1

n+1

，然后分别取n=1，2，3，…，累加后证得答案．

解答： （Ⅰ）解：函数f（x）=lnx-ax+1的定义域为（0，+∞），
f′(x)=

1

x

-a．
∴f′（1）=1-a．
又切线l与直线4x+3y-3=0垂直，
∴1-a=

3

4

，解得a=

1

4

；
（Ⅱ）解：若a≤0，则f′(x)=

1

x

-a＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数．
而f（1）=1-a，f（x）≤0不成立，故a＞0．
若a＞0，则当x∈(0，

1

a

)时，f′(x)=

1

x

-a＞0；
当x∈(

1

a

，+∞)时，f′(x)=

1

x

-a＜0．
∴f（x）在(0，

1

a

]上是增函数，在[

1

a

，+∞)上是减函数．
∴f（x）的最大值为f(

1

a

)=-lna．
要使f（x）≤0恒成立，只需-lna≤0，解得a≥1；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=1时，有f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，且f（x）在（0，1]上是增函数，
又f（1）=0，
∴lnx＜x-1在x∈（0，1]上恒成立．
令x=

n

n+1

，则ln

n

n+1

＜

n

n+1

-1=-

1

n+1

，
令n=1，2，3…n，
则有ln

1

2

＜-

1

2

，ln

2

3

＜-

1

3

，…，ln

n

n+1

＜-

1

n+1

．
以上各式两边分别相加，得ln

1

2

+ln

2

3

+…+ln

n

n+1

＜-(

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

)．
即ln

1

n+1

＜-(

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

)，
故ln(n+1)＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，训练了利用放缩法和累加法证明不等式，是压轴题．