已知直线l的参数方程:$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}{\;}\end{array}\right.$.以坐标原点为极点.x轴的正半轴为极轴.且取相同的长度单位建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ2=$\frac{12}{4co{s}^{2}θ+3si{n}^{2}θ}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}{\;}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{12}{4co{s}^{2}θ+3si{n}^{2}θ}$．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）设曲线C与直线l交于A，B两点，若P（1，2），求|PA|+|PB|的值．

分析（I）曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{12}{4co{s}^{2}θ+3si{n}^{2}θ}$，即4ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得曲线C的直角坐标方程．直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}{\;}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t化为直线l的普通方程．
（Ⅱ）由于点P（1，2）在直线l上，把$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$代入$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$，整理得：$13{t^2}+4（4+6\sqrt{3}）t+16=0$．设方程的两个实根为t₁，t₂，根据t的几何意义即可得出．

解答解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{12}{4co{s}^{2}θ+3si{n}^{2}θ}$，即4ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12，可得：曲线C的直角坐标方程为4x²+3y²=12，化为$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$．
直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}{\;}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t化为：直线l的普通方程为$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}+2=0$．
（Ⅱ）∵点P（1，2）在直线l上，把$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$代入$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$，
整理得：$13{t^2}+4（4+6\sqrt{3}）t+16=0$，△≥0，
设方程的两个实根为t₁，t₂，则${t_1}+{t_2}=-\frac{{8（2+3\sqrt{3}）}}{13}$，
根据t的几何意义得：$|{PA}|+|{PB}|=-（{t_1}+{t_2}）=\frac{{8（2+3\sqrt{3}）}}{13}$．