题目内容
19．
如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDE；
（2）求二面角E-BD-A的正切值．
分析 （1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，则A1C∥EO，由此能证明A1C∥平面BDE．
（2）由BD⊥AC，BD⊥EO，得∠AOE是二面角E-BD-A的平面角，由此能求出二面角E-BD-A的正切值．
解答 
证明：（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO
∵E是AA1的中点，O是BD的中点，∴A1C∥EO，
又EO?面BDE，AA1?面BDE，所以A1C∥平面BDE．…（6分）
解：（2）由（1）知，BD⊥AC，BD⊥EO，
∴∠AOE是二面角E-BD-A的平面角，
在Rt△AOE中，tan∠AOE=$\frac{AE}{AO}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴二面角E-BD-A的正切值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（12分）
点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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9．若实数a，b，c同时满足以下三个条件：
①（b+$\frac{1}{{3}^{a}}$-$\frac{1}{3}$）2+[c-m（a2+a-m2-m）]2=0；
②对任意的a∈R，b＜0或c＜0；
③存在a∈（-∞，-1），使得bc＜0．
则实数m的取值范围为（ ）
①（b+$\frac{1}{{3}^{a}}$-$\frac{1}{3}$）2+[c-m（a2+a-m2-m）]2=0；
②对任意的a∈R，b＜0或c＜0；
③存在a∈（-∞，-1），使得bc＜0．
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| A． | （-2，0） | B． | （-2，-1） | C． | （-3，-2） | D． | （-4，-2） |
10．函数y=sin（πx+$\frac{π}{3}$）的最小正周期为（ ）
| A． | 2 | B． | π | C． | $\frac{π}{2}$ | D． | 1 |
7．已知函数f（x）是定义在R上的函数且满足f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），若x∈（0，3）时，f（x）=log2（3x+1），则f（2015）=（ ）
| A． | 4 | B． | -2 | C． | 2 | D． | log27 |
14．某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：
（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提
供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的
空气严重污染与供暖有关”？
（Ⅱ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为y=$\left\{\begin{array}{l}{0，0≤x≤100}\\{400，100＜x≤300}\\{2000，x＞300}\end{array}\right.$试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．
参考公式：K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
| API | [0，50] | （50，100] | （100，150] | （150，200] | （200，300] | ＞300 |
| 空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 |
| 天数 | 6 | 14 | 18 | 27 | 20 | 15 |
供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的
空气严重污染与供暖有关”？
| 非重度污染 | 严重污染 | 合计 | |
| 供暖季 | 22 | 8 | 30 |
| 非供暖季 | 63 | 7 | 70 |
| 合计 | 85 | 15 | 100 |
参考公式：K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
| P（K2≥k） | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| k | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
一个棱长为$\root{3}{6}$的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则此剩余部分的体积为5．