Question

18．下列函数中，最小值是2的是（　　）

• A． y=x+$\frac{1}{x}$
• B． y=sinx+$\frac{1}{sinx}$（0$＜x＜\frac{π}{2}$）
• C． y=lgx+$\frac{1}{lgx}$（1＜x＜10）
• D． y=x+$\frac{2}{\sqrt{x}}$-1

Answer 1

分析 利用函数的单调性或基本不等式求解函数的最小值，推出结论．

解答 解：y=x+$\frac{1}{x}$，x＞0时，函数的最小值为2．x＜0时，y≤-2，所以函数的最小值不是2，A不正确；
y=sinx+$\frac{1}{sinx}$（0$＜x＜\frac{π}{2}$）可得x=$\frac{π}{2}$时，函数取得最小值，所以B不正确；
y=lgx+$\frac{1}{lgx}$（1＜x＜10）当x=10时函数的最小值为2，所以C不正确；
y=x+$\frac{2}{\sqrt{x}}$-1，函数的定义域为x＞0，y=x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$-1≥3$\root{3}{x•\frac{1}{\sqrt{x}}•\frac{1}{\sqrt{x}}}$-1=2，当且仅当x=1时取等号．所以D正确；
故选：D．

点评 本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．