Question

已知f（x）=

(sinx+cosx)2

2+2sin2x-cos22x

，若f（

3π

8

+

α

2

）=

13

18

，f（

π

8

-

β

2

）=5，且0＜α＜

π

4

，

π

4

＜β＜

3π

4

，则sin（α+β）的值为

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,同角三角函数基本关系的运用

专题：计算题,三角函数的求值

分析：由题，解析式可化简为f（x）=

(sinx+cosx)2

2+2sin2x-cos22x

=

1+sin2x

2+2sin2x-cos22x

=

1+sin2x

1+2sin2x+sin22x

=

1

1+sin2x

，再化简f（

3π

8

+

α

2

）=

13

18

，f（

π

8

-

β

2

）=5，即可观察出求sin（α+β）的值的方法．

解答： 角：∵f（x）=

(sinx+cosx)2

2+2sin2x-cos22x

=

1+sin2x

2+2sin2x-cos22x

=

1+sin2x

1+2sin2x+sin22x

=

1

1+sin2x

，
∴f（

3π

8

+

α

2

）=

1

1+sin( 3π 4 +α)

=

13

18

，解得sin(

3π

4

+α)=

5

13

，
f（

π

8

-

β

2

）=

1

1+sin( π 4 -β)

=5，解得sin(

π

4

-β)=-

4

5

，
又0＜α＜

π

4

，

π

4

＜β＜

3π

4

，
∴

3π

4

+α∈(

3π

4

，π)，

π

4

-β∈(-

π

2

，0)，
∴cos（

3π

4

+α）=-

12

13

，cos（

π

4

-β）=

3

5

，
∴sin（α+β）=sin[

3π

4

+α-(

π

4

-β)-

π

2

]
=-cos[

3π

4

+α-(

π

4

-β)]
=-[cos(

3π

4

+α)cos(

π

4

-β)+sin(

3π

4

+α)sin(

π

4

-β)]
=-[-

12

13

×

3

5

+

5

13

×（-

4

5

]
=

56

65

．
故答案为：

56

65

点评：本题考查三角恒等变换公式的应用，利用三角恒等变换公式求值熟练掌握公式很关键，本题考查了用已知表示未知的变换思想，这是三角函数求值中常用的技巧