Question

已知命题p：?x₀∈R，x₀²+（a-1）x₀+1＜0，命题q：?x∈R，（a-3）x²+（a-3）x-2＜0，
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题q为真命题，求实数a的取值范围；
（3）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：综合题,简易逻辑

分析：（1）由命题p为真命题，可得出△=（a-1）²-4＞0解不等式即可得出实数a的取值范围；
（2）由命题q为真命题可得出（a-3）x²+（a-3）x-2＜0恒成立，分二次项系数为0与不为0两种情况即可角出实数a的取值范围；
（3）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，可得出p与q一真一假，分p真q假与p假q真两种情况分别解出实数a的取值范围，再求出它们的并集即可．

解答： 解：（1）若命题p为真命题，则x₀²+（a-1）x₀+1＜0有解，故有△=（a-1）²-4＞0解得a＞3或a＜-1，即实数a的取值范围为a＞3或a＜-1
（2）若命题q为真命题，则（a-3）x²+（a-3）x-2＜0恒成立，
当a=3时，不等式变为-2＜0，恒成立
当a≠3时，则有

a-3＜0 △=(a-3)2+8(a-3)＜0

，解得-5＜a＜3
综上得命题q为真命题时，实数a的取值范围为-5＜a≤3
3）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p与q一真一假
若p真q假，则有

a＞3或a＜-1 a＞3或a＜-5

解得a＞3或a＜-5
若p假q真，则有

-1≤a≤3 -5＜a≤3

，解得1≤a≤3
综上，实数a的取值范围a≥1或a＜-5

点评：本题考查复合命题的真假，根据真假判断规则正确转化是解答的关键．