Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx+2，x≥0}\\{（\frac{1}{2}）^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，则下列关于函数y=f[f（x）]-$\frac{3}{2}$的零点个数的判断正确的是（　　）

• A． 当k≥0时，有1个零点；当k＜0时，有2个零点
• B． 当k≥0时，没有零点；当-$\frac{1}{2}$＜k≤-$\frac{1}{4}$时，有3个零点，当k≤-$\frac{1}{2}$或-$\frac{1}{4}$＜k＜0有2个零点
• C． 当k≥0时，没有零点；当-$\frac{1}{2}$＜k＜0时，有3个零点，当k≤-$\frac{1}{2}$有2个零点
• D． 当k≥0时，没有零点；当-$\frac{1}{2}$≤k＜-$\frac{1}{4}$时，有3个零点，当k＜-$\frac{1}{2}$或-$\frac{1}{4}$≤k＜0有2个零点

Answer 1

分析 因为函数f（x）为分段函数，函数y=f[f（x）]-$\frac{3}{2}$为复合函数，故需要分类讨论，最后综合讨论结果，得到答案．

解答 解：①若k≥0，
当x≥0时，f（x）≥2，此时y=f[f（x）]-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$恒成立，
当x＜0时，f（x）＞1，此时y=f[f（x）]-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$恒成立，
即当k≥0时，没有零点；
②k＜0时，
函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx+2，x≥0}\\{（\frac{1}{2}）^{x}，x＜0}\end{array}\right.$的图象如下图所示：

令y=f[f（x）]-$\frac{3}{2}$=0，
即f[f（x）]=$\frac{3}{2}$，
则f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}\frac{3}{2}$，或f（x）=$\frac{-1}{2k}$
令f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}\frac{3}{2}$，此时存在一个x满足要求；
令f（x）=$\frac{-1}{2k}$，
若0＜$\frac{-1}{2k}$≤1，即k≤$-\frac{1}{2}$时，此时存在一个x满足要求；则函数y=f[f（x）]-$\frac{3}{2}$有两个零点；
若1＜$\frac{-1}{2k}$≤2，即$-\frac{1}{2}$＜k≤$-\frac{1}{4}$时，此时存在两个x满足要求；则函数y=f[f（x）]-$\frac{3}{2}$有三个零点；
若$\frac{-1}{2k}$＞2，即$-\frac{1}{4}$＜k＜0时，此时存在一个x满足要求；则函数y=f[f（x）]-$\frac{3}{2}$有两个零点；
综上可得：当k≥0时，没有零点；当-$\frac{1}{2}$≤k＜-$\frac{1}{4}$时，有3个零点，当k＜-$\frac{1}{2}$或-$\frac{1}{4}$≤k＜0有2个零点，
故选：D．

点评 本题考查分段函数，考查复合函数的零点，解题的关键是利用数形结合以及分类讨论确定方程f[f（x）]=$\frac{3}{2}$的根的个数，利用数形结合法是解决本题的关键