Question

6．设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N^*，都有4S_n=a_n²+2a_n，其中S_n为数列{a_n}的前n项和，则数列{a_n}的通项公式为a_n=2n．

Answer 1

分析 当n=1时，得a₁=2；当n≥2时，由4a_n=4S_n-4S_n-1，得a_n-a_n-1=2，从而可得结论．

解答 解：当n=1时，由4S₁=a₁²+2a₁，a₁＞0，得a₁=2，
当n≥2时，由4a_n=4S_n-4S_n-1=（a_n²+2a_n）-（a_n-1²+2a_n-1），
得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
因为a_n+a_n-1＞0，所以a_n-a_n-1=2，
故a_n=2+（n-1）×2=2n．
故答案为：2n．

点评 本题考查数列的通项公式及前n项和的求法，注意解题方法的积累，属于中档题．