题目内容
6．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=a+\sqrt{2}t\;\;\;}\\{y=1+\sqrt{2}t\;\;\;\;\;}\end{array}}\right.$（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．
分析 （Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，利用|PA|=2|PB|，分类讨论，求实数a的值．
解答 解：（Ⅰ）曲线C1参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=a+\sqrt{2}t\;\;\;}\\{y=1+\sqrt{2}t\;\;\;\;\;}\end{array}}\right.$，∴其普通方程x-y-a+1=0，-------（2分）
由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0
∴x2+4x-x2-y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．-------（5分）
（Ⅱ）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ x=a+\sqrt{2}t\\ y=1+\sqrt{2}t\end{array}\right.$得$2{t^2}-2\sqrt{2}t+1-4a=0$
要有两个不同的交点，则$△={（2\sqrt{2}）^2}-4×2（1-4a）＞0$，即a＞0，由韦达定理有$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=\sqrt{2}\;\\{t_1}•{t_2}=\frac{1-4a}{2}\end{array}\right.$
根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，
又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=-2t2-------（7分）
∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=$\sqrt{2}$，t1t2=2t22=$\frac{1-4a}{2}$，∴a=$\frac{1}{36}$＞0，符合题意．-------（8分）
当t1=-2t2时，有t1+t2=-t2=$\sqrt{2}$，t1t2=-2t22=$\frac{1-4a}{2}$，∴a=$\frac{9}{4}$＞0，符合题意．-------（9分）
综上所述，实数a的值为$a=\frac{1}{36}$或$\frac{9}{4}$．-------（10分）
点评 本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，考查参数的几何意义，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
| A． | {x|x=2a，a∈A} | B． | {x|x=2a，a∈A} | C． | {x|x=a-1，a∈N} | D． | {x|x=a2，a∈N} |
| A． | 860 | B． | 720 | C． | 1020 | D． | 1040 |
| A． | 5 | B． | $\frac{1}{5}$ | C． | $\frac{11}{2}$ | D． | $\frac{2}{11}$ |
| A． | $（\frac{1-ln2}{8}，\frac{1-ln2}{6}）∪（\frac{ln2-1}{6}，\frac{ln2-1}{8}）$ | B． | $（\frac{ln2-1}{6}，\frac{ln2-1}{8}）$ | ||
| C． | $（\frac{1-ln2}{8}，\frac{1-ln2}{6}）$ | D． | $（\frac{1-ln2}{8}，\frac{ln2-1}{6}）$ |
| A． | y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$|x| | B． | y=x${\;}^{\frac{1}{2}}$ | C． | y=$\frac{{{2^x}+{2^{-x}}}}{2}$ | D． | y=lg$\frac{2-x}{2+x}$ |