Question

若函数f（x）=e^1-|x-m|-emx²的图象与函数g（x）=x+1图象有公共点，则正实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的图象,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：两图象有公共点问题，可以尝试从图象角度着手，也可尝试转化为函数零点问题．

解答： 解：题意等价于函数h（x）=e^1-|x-m|-emx²-x-1有零点．
当0＜m≤1时，h（0）=e^1-m-1≥0，h（1）=e^m-em-2，令H（m）=e^m=em-2，m∈（0，1]，则H′（m）=e^m-e≤0⇒H（m）在（0，1]递减，即H（m）＜H（0）=-1＜0，
故函数h（x）有零点，符合题意．
当m＞1时，h(x)=

e-x+m+1-emx2-x-1， x＞m e-em3-m-1，    x=m ex-m+1-emx2-x-1， x＜m

，
x＞m时，h′（x）=-e^-x+m+1-2emx-1，h″（x）=e^-x+m+1-2em＜0⇒h′（x）递减，即h′（x）＜h′（m）=-e-2em²-1＜0⇒h（x）递减，即h（x）＜h（m）=e-em³-m-1＜0；
x＜m时，h′（x）=e^x-m+1-2emx-1，h″（x）=e^x-m+1-2em＜0⇒h′（x）递减，且g=h′（0）=e^1-m-1＜0，所以存在x₀＜0，使h′（x₀）=0，即ex0-m+1=2emx0+1，故h(x)max=h(x0)=2emx0+1-emx02-x0-1=x0(2em-emx0-1)＜0；
x=m时，h（m）=e-em³-m-1＜0．
故函数h（x）无零点，不符合题意．
故答案为：（0，1]．

点评：本题考查函数零点与导数的相关知识，属难题．难点有二：一是形缺数时难入微，从图象角度不易求解；二是需要二次求导判断函数单调性．