Question

19．已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f（x）=6x-2．数列{a_n}的前n项和为s_n，点（n，s_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（Ⅰ）求f（x）和数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{3}{{a{\;}_na{\;}_{n+1}}}，T_n^{\;}$是数列{b_n}的前n项和并证明$\frac{3}{7}≤{T_n}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （I）由题意可设二次函数y=f（x）=ax²+bx（a≠0），f′（x）=2ax+b=6x-2．可得a，b，于是f（x）=3x²-2x．点（n，s_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上，可得S_n=3n²-2n，利用n=1时，a₁=S₁；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出a_n．
（II）b_n=$\frac{3}{（6n-5）（6n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}）$．利用“裂项求和”方法可得T_n，再利用数列的单调性即可证明．

解答 解：（I）由题意可设二次函数y=f（x）=ax²+bx（a≠0），f′（x）=2ax+b=6x-2．
∴2a=6，b=-2，解得a=3，b=-2．
∴f（x）=3x²-2x．
∵点（n，s_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上，
∴S_n=3n²-2n，
∴n=1时，a₁=S₁=3-2=1；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5，n=1时也成立．
∴a_n=6n-5．
（II）b_n=$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{（6n-5）（6n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}）$．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{7}）$+$（\frac{1}{7}-\frac{1}{13}）$+…+$（\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{6n+1}）$，
∵数列$\{-\frac{1}{6n+1}\}$单调递增，T₁=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{7}）$=$\frac{3}{7}$．
∴T₁≤T_n$＜\frac{1}{2}$，即$\frac{3}{7}≤{T_n}＜\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了导数的运算法则、数列的递推关系、数列“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．