Question

8．已知二面角α-l-β的大小为120°，点B，C在棱l上，A∈α，D∈β，AB⊥l，CD⊥l，AB=2，BC=1，CD=3，则AD的长为（　　）

• A． $\sqrt{14}$
• B． $\sqrt{13}$
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 如图所示，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CD}$=0，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}$=3．由$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$，利用数量积运算性质可得：${\overrightarrow{AD}}^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{BC}}^{2}$+${\overrightarrow{CD}}^{2}$+2（$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}$），代入即可得出．

解答 解：如图所示，
$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CD}$=0，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}$=2×3×cos60°=3．
$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$，
∴${\overrightarrow{AD}}^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{BC}}^{2}$+${\overrightarrow{CD}}^{2}$+2（$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}$）
=2²+1²+3²+2×（0+0+3）
=20．
∴$|\overrightarrow{AD}|$=2$\sqrt{5}$．
故选：C．

点评 本题考查了空间角、向量多边形法则、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．