Question

4．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}a{x^2}+2bx+c$的两个极值点分别位于区间（-1，0）与（0，1）内，则$\frac{b-1}{2a-1}$的取值范围是（　　）

• A． $（-∞，-1）∪（\frac{1}{3}，+∞）$
• B． $（-∞，-2）∪（\frac{2}{3}，+∞）$
• C． $（-2，\frac{2}{3}）$
• D． $（-1，\frac{1}{3}）$

Answer 1

分析 根据极值的意义可知，极值点x₁、x₂是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域，明确目标函数的几何意义，即可求得结论．

解答 解：∵函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}a{x^2}+2bx+c$的两个极值点分别位于区间（-1，0）与（0，1）内，
∴f'（x）=x²+ax+2b的两个零点分别位于区间（-1，0）与（0，1）内，
∴$\left\{\begin{array}{l}f'（-1）＞0，\;\;\\ f'（0）＜0，\;\;\\ f'（1）＞0\end{array}\right.⇒$$\left\{\begin{array}{l}-a+2b+1＞0，\;\;\\ b＜0，\;\;\\ a+2b+1＞0，\;\;\end{array}\right.$设点P（a，b），$A（{\frac{1}{2}，\;\;1}）$，

则$\frac{b-1}{2a-1}=\frac{1}{2}\;•\;\frac{b-1}{{a-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}{k_{PA}}$（k_PA为直线PA的斜率），
如图所示，由线性规划知，${k_{PA}}∈（-∞，\;\;-2）∪（{\frac{2}{3}，\;\;+∞}）$，
∴$\frac{1}{2}{k_{PA}}∈（-∞，\;\;-1）∪（{\frac{1}{3}，\;\;+∞}）$，
故选：A．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域，属于中档题．