题目内容
已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为
，且过点（5，-
）．
（1）求此双曲线方程；
（2）若点M（x0，y0）在双曲线右支上，且
⊥
，求点M的坐标；
（3）求△F1MF2的面积．
| 2 |
| 19 |
（1）求此双曲线方程；
（2）若点M（x0，y0）在双曲线右支上，且
| MF1 |
| MF2 |
（3）求△F1MF2的面积．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）双曲线方程为x2-y2=λ，点代入求出参数λ的值，从而求出双曲线方程；
（2）先求出向量
，
的坐标，再由向量垂直的条件，得到方程，再由点在双曲线上满足方程，解得即可得到M的坐标；
（3）求出三角形的高，底边长，运用三角形的面积公式可得其面积．
（2）先求出向量
| MF1 |
| MF2 |
（3）求出三角形的高，底边长，运用三角形的面积公式可得其面积．
解答：
解：（1）∵e=
，∴可设双曲线方程为x2-y2=λ，
∵过点（5，-
），∴25-19=λ，即λ=6．
∴双曲线方程为x2-y2=6；
（2）F1（-2
，0），F2（2
，0），
∵
=（-2
-x0，-y0），
=（2
-x0，-y0），
且
⊥
，
∴
•
=x02-12+y02=0，
∵M点在双曲线右支上，∴x02-y02=6，
解得，x0=3，y0=±
，
即有M（3，
）或（3，-
）；
（3）△F1MF2的底|F1F2|=4
，由（2）知yM=±
．
∴△F1MF2的高h=|yM|=
，
∴S△F1MF2=
×
×4
=6．
| 2 |
∵过点（5，-
| 19 |
∴双曲线方程为x2-y2=6；
（2）F1（-2
| 3 |
| 3 |
∵
| MF1 |
| 3 |
| MF2 |
| 3 |
且
| MF1 |
| MF2 |
∴
| MF1 |
| MF2 |
∵M点在双曲线右支上，∴x02-y02=6，
解得，x0=3，y0=±
| 3 |
即有M（3，
| 3 |
| 3 |
（3）△F1MF2的底|F1F2|=4
| 3 |
| 3 |
∴△F1MF2的高h=|yM|=
| 3 |
∴S△F1MF2=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查双曲线的方程、定义和性质，考查向量的数量积的性质，考查运算能力，属于中档题．
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+
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| 1 |
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|≤|
+
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| OA |
| OB |
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| ||||
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| ||||
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| ||||
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