Question

如图树顶A离地面am，树上另一点B离地面bm．在离地面cm的C处看此树，离此树多远时看A、B的视角最大？

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：计算题,解三角形,不等式的解法及应用

分析：过点C作CD⊥AB，设CD=x，根据已知中树顶A距地面a米，树上另一点B距地面b米，人眼C离地面c米．我们易求出tan∠ACB，即tan（∠ACD-∠BCD）的表达式，进而根据基本不等式，求出tan∠ACB的范围及tan∠ACB取最大值时x的值，进而得到答案．

解答： 解：如图，过点C作CD⊥AB，则AD=a-c，BD=b-c，设CD=x．
由图可知：tan∠ACB=tan（∠ACD-∠BCD）=

tan∠ACD-tan∠BCD

1+tan∠ACD•tan∠BCD

=

a-c x - b-c x

1+ a-c x • b-c x

=

a-b

x+ (a-c)(b-c) x

≤

a-b

2 (a-c)(b-c)

，
当且仅当x=

(a-c)(b-c)

x

，
即有x=

(a-c)(b-c)

时，等号成立即有取得最大值．
则离此树

(a-c)(b-c)

m时，看A、B的视角最大．

点评：本题考查的知识点是三角函数的实际应用，两角差的正切公式，及基本不等式，其中构造适当的三角形，将问题转化为一个三角函数问题是解答本题的关键．