Question

已知O是坐标原点，A，B是直线l：x-y+t=0与圆C：x²+y²=4的两个不同交点，若|

AB

|≤|

OA

+

OB

|，则实数t的取值范围是（　　）

• A、（-2

  2

  ，-2]
• B、[2，2

  2

  ）
• C、（-2

  2

  ，-2]∪[2，2

  2

  ）
• D、[-2

  2

  ，-2]∪[2，2

  2

  ]

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆

分析：将已知向量式两边平方，得到∠AOB≤90°，再直线和圆相切，及直线和圆相交所得圆心角为直角的情况，再结合条件即可得到所求范围．

解答： 解：由于

AB

=

OB

-

OA

，
则|

OB

-

OA

|≤|

OA

+

OB

|，
两边同时平方整理得

OA

•

OB

≥0，
则∠AOB≤90°，又直线l：x-y+t=0的斜率为1，
经过（-2，0），（0，2）或（0，-2），（2，0）时恰好满足∠AOB=90°，
此时t=2或-2；
当l：x-y+t=0与圆相切时是一种临界状态，此时d=

|t|

2

=2，
解得，t=2

2

或t=-2

2

，
由于直线l：x-y+t=0与圆C：x²+y²=4的两个不同交点，
则t∈（-2

2

，-2]∪[2，2

2

）．
故选C．

点评：本题考查平面向量的数量积的性质，考查直线和圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题．