Question

已知对任意正实数x，y，（x+y）（

1

x

+

a

y

）≥9恒成立，则正实数a的最小值为（　　）

• A、8
• B、6
• C、4
• D、2

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由a，x，y＞0，可得（x+y）（

1

x

+

a

y

）≥1+a+

y

x

+

ax

y

≥1+a+2

y x • ax y

=1+a+2

a

，由于对任意正实数x，y，（x+y）（

1

x

+

a

y

）≥9恒成立，因此1+a+2

a

≥9，解出即可．

解答： 解：∵a，x，y＞0，
∴（x+y）（

1

x

+

a

y

）≥1+a+

y

x

+

ax

y

≥1+a+2

y x • ax y

=1+a+2

a

，当且仅当y=

a

x时取等号．
∵对任意正实数x，y，（x+y）（

1

x

+

a

y

）≥9恒成立，
∴1+a+2

a

≥9，
化为(

a

)2+2

a

-8≥0，
变为(

a

+4)(

a

-2)≥0，
解得

a

≥2，∴a≥4．
∴a的最小值为4．
故选：C．

点评：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了恒成立问题的转化方法，考查了计算能力，属于基础题．