Question

已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，直线y=

2

2

x与椭圆在第一象限的交点是M，M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F₂，另一个焦点是F₁．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若

MF1

•

MF2

=2，求椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，直线l经过左焦点F₁，且与椭圆相交于P，Q两点，求△F₂PQ面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设出椭圆的方程，根据题意，得出点M的坐标，结合直线方程，求出离心率e；
（2）由

MF1

•

MF2

=2得方程①，e=

2

2

得方程②，b²=a²-c²③，①②③组成方程组，求出a²、b²即可；
（3）讨论直线l的斜率不存在时，求得△F₂PQ的面积，直线l的斜率存在时，
设出直线方程y=k（x+2），与椭圆方程联立，求出△F₂PQ的面积，由此求出△F₂PQ面积的最大值．

解答： 解：（1）设椭圆的方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由题意，点M的横坐标为c，纵坐标为

b2

a

，
∴

2

2

c=

b2

a

，
转化为

2

2

c=

a2-c2

a

，
即

2

2

c

a

=1-(

c

a

)2，
∴e²+

2

2

e-1=0，
解得e=

2

2

（负根舍去）；
（2）∵M（c，

b2

a

），∴

MF1

=（-2c，-

b2

a

），

MF2

=（0，-

b2

a

）；
∴

MF1

•

MF2

=

b4

a2

=2①，
又∵e=

c

a

=

2

2

，
∴c=

2

2

a②，
由c²=a²-b²③，
①②③组成方程组，解得a²=8，b²=4，
∴椭圆的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（3）当直线l的斜率不存在时，易求得P(-2，

2

)，Q(-2，-

2

)，△F₂PQ的面积为4

2

；
当直线l的斜率存在时，设方程为y=k（x+2），
由代入椭圆方程得（（1+2k²）x²+8k²x+（8k²-8）=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

8k2

1+2k2

，x₁x₂=

8k2-8

1+2k2

，
∴△F₂PQ的面积为
S△F2PQ=S△PF1F2+S△QF1F2
=

1

2

•|F₁F₂|•|y₁-y₂|
=2k|x₁-x₂|
=2k•

(x1+x2)2-4x1x2

=4

2

•

4k4+4k2 4k4+4k2+1

＜4

2

；
综上，△F₂PQ面积的最大值为4

2

．

点评：本题考查了直线与椭圆的综合应用问题，也考查了椭圆的离心率和求椭圆的标准方程的应用问题，是综合题．