Question

16．设二次函数f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+m图象的顶点为C，与x轴的交点分别为A、B．若△ABC的面积为8$\sqrt{2}$．
（1）求m的值；
（2）求函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）可令f（x）=0，从而可以解出x=$±\sqrt{2m}$，这样可以求出AB=$2\sqrt{2m}$，而OC=m，从而根据△ABC的面积为8$\sqrt{2}$便可求出m=4；
（2）写出$f（x）=-\frac{1}{2}{x}^{2}+4$，从而可以看出x分别取0，2时，f（x）在区间[-1，2]上分别取到最大、最小值，并且可求出该最大、最小值．

解答 解：（1）如图，

令f（x）=0得，x=$±\sqrt{2m}$，OC=m；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}•（2\sqrt{2m}）•m=8\sqrt{2}$；
∴m=4；
（2）$f（x）=-\frac{1}{2}{x}^{2}+4$；
∵x∈[-1，2]；
∴x=0时，f（x）取最大值4，x=2时，f（x）取最小值2；
∴f（x）在区间[-1，2]上的最大值为4，最小值为2．

点评 考查二次函数的图象，三角形的面积公式，二次函数在闭区间上的最大、最小值的求法，以及数形结合解题的方法．