Question

15．已知集合A={1，2，3}，f、g为集合A到A的函数，则函数f、g的像集交为空的函数对（f，g）的个数为42．

Answer 1

分析 根据f（x）、g（x）的象集的交集为空集，需要分三类讨论：①f（x）的象集含一个元素，g（x）的象集含一个元素；②f（x）的象集含一个元素，g（x）的象集含两个元素；③f（x）的象集含两个元素，g（x）的象集含一个元素，先算出各类的种数，再求和即可．

解答 解：因为函数f（x）、g（x）的象集的交集为空集，
考察函数f（x）的象集，有三种可能：
①f（x）的象集含一个元素，g（x）的象集含一个元素，
此时，f（x）有${C}_{3}^{1}$种，g（x）有${C}_{2}^{1}$种，
则函数对（f，g）有N₁=${C}_{3}^{1}$•${C}_{2}^{1}$=6种；
②f（x）的象集含一个元素，g（x）的象集含两个元素，
此时，f（x）有${C}_{3}^{1}$种，g（x）有${C}_{3}^{2}$•${A}_{2}^{2}$种，
则函数对（f，g）有N₂=${C}_{3}^{1}$•${C}_{3}^{2}$•${A}_{2}^{2}$=18种；
③f（x）的象集含两个元素，g（x）的象集含一个元素，
此时，f（x）有${C}_{3}^{2}$•${C}_{3}^{2}$•${A}_{2}^{2}$种，g（x）有1种，
则函数对（f，g）有N₃=${C}_{3}^{2}$•${C}_{3}^{2}$•${A}_{2}^{2}$=18种；
综合以上讨论得，所有符合题意的集合共有N₁+N₂+N₃=42种，
故答案为：42．

点评 本题主要考查了函数与映射的概念，涉及函数个数的确定，交集的运算和排列组合的应用，属于中档题．