Question

已知直线l：x-ay+a=0和双曲线C：x²-y²=1的左支交于A、B两点，过AB的中点Q与P（-2，1）的直线PQ，交y轴于（0，b），求b的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：联立直线方程和双曲线方程，消去x，得到y的方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，求出a的范围，再由三共线则斜率相等，得到b的不等式，解得即可．

解答： 解：联立直线l：x-ay+a=0和双曲线C：x²-y²=1，
消去x，得，（a²-1）y²-2a²y+a²-1=0，
由于直线和双曲线的左支交于A、B两点，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则判别式4a⁴-4（a²-1）²＞0①，且y₁+y₂=

2a2

a2-1

，y₁y₂=1，
则x₁+x₂=a（y₁+y₂）-2a=

2a

a2-1

＜0②，x₁x₂=（ay₁-a）（ay₂-a）=2a²-

2a4

a2-1

＞0③，
由①②③解得，

2

2

＜a＜1，
则AB的中点Q（

a

a2-1

，

a2

a2-1

），
由于过AB的中点Q与P（-2，1）的直线PQ，交y轴于（0，b），
则有

b-1

2

=

a2 a2-2 -1

a a2-1 +2

=

2

2a2+a-2

即有2a²+a-2=

4

b-1

，
由于

2

2

＜a＜1，则2a²+a-2∈（

2

2

-1，1）
由

2

2

-1＜

4

b-1

＜1，解得，b＞5或b＜-7-4

2

．
则b的取值范围为（5，+∞）∪（-∞，-7-4

2

）．

点评：本题考查直线和双曲线的位置关系，考查联立直线方程和双曲线方程，消去未知数，运用韦达定理，考查三点共线的知识，以及直线的斜率公式，考查运算能力，属于中档题．