Question

如果对于任意x、y∈R都有sinx+cosy=f（x）+f（y）+g（x）-g（y），求：
（1）函数f（x）的解析式
（2）g（0）=-

1

2

，求函数g（X）的解析式．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x=y，代入方程可得函数f（x）的解析式
（2）由g（0）=-

1

2

，可得f（0）+f（y）+g（0）-g（y）=0+cosy，结合（1）中结论，可得函数g（x）的解析式．

解答： 解：（1）令x=y，代入方程得f（x）+f（x）+g（x）-g（x）=sinx+cosx，
∴f（x）=

1

2

（sinx+cosx），
（2）g（0）=-

1

2

，
f（0）+f（y）+g（0）-g（y）=0+cosy，

1

2

+

1

2

（siny+cosy）+

1

2

-g（y）=cosy，
g（y）=1+

1

2

siny-

1

2

cosy，
∴g（x）=1+

1

2

sinx-

1

2

cosx．

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数解析式的求解，难度中档．