Question

已知M是所有同时满足下列性质的函数f（x）的集合：
①函数f（x）在其定义域是单调函数；
②在函数f（x）的定义域内存在区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b．
（1）判断函数f（x）=x²，x∈[0，+∞）是否属于集合M？若是，请求出相应的区间[a，b]；若不是，请说明理由；
（2）证明：函数f（x）=3log₂x属于集合M；
（3）若函数f（x）=

mx

1+|x|

属于M，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）易知函数f（x）=x²在[0，+∞）上单调递增，再求解f（x）-x=x²-x=0，从而得到区间为[0，1]；
（2）先证明单调性，再作图说明F（x）=3log₂x-x有两个零点即可；
（3）由于函数f（x）=

mx

1+|x|

在R上连续，且是奇函数，故只需f（x）=

mx

1+|x|

在[0，+∞）上单调，且有区间即可；求导确定单调性，令H（x）=

mx

1+|x|

-x=

-x(x-m+1)

1+x

=0求解．

解答： 解：（1）易知函数f（x）=x²在[0，+∞）上单调递增，
令f（x）-x=x²-x=0，
解得，x=0或x=1；
故区间为[0，1]；
故函数f（x）=x²，x∈[0，+∞）属于集合M；
（2）证明：函数f（x）=3log₂x在其定义域（0，+∞）上单调递增，
令F（x）=3log₂x-x，
其图象如下，

故其与x轴的交点可作为a，b；
故函数f（x）=3log₂x属于集合M；
（3）函数f（x）=

mx

1+|x|

在R上连续，且是奇函数，
故只需f（x）=

mx

1+|x|

在[0，+∞）上单调，
则f′（x）=

m

(1+x)2

，
故m≠0；
f（0）=0，
H（x）=

mx

1+|x|

-x=

-x(x-m+1)

1+x

=0，
故，m-1＞0，
故m＞1．

点评：本题考查了函数的单调性的判断及零点的判断，同时考查了函数的图象的应用，属于中档题．