Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：①对于任意的实数m，n，等式f（m+n）=f（m）+f（n）恒成立；②当x＞0时，f（x）＜0，且f（1）=-2．
（1）判断函数f（x）在R上的奇偶性和单调性；
（2）求函数f（x）在区间[-4，4]上的最值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数单调性的定义，作差，利用所给恒等式进行变形，判断f（x₁）与f（x₂）的大小，进而证明出f（x）的单调性；根据函数奇偶性的定义证明即可．
（2）利用赋值先求出f（2），再求出f（4）得值，根据函数为奇函数且为减函数，继而求出最值．

解答： 解：（1）函数为减函数，
证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∵x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0，
又∵f（m+n）-f（m）=f（n）
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在R上单调递减．
函数f（x）在是奇函数．
证明：令m=n=0代入条件，得f（0）=f（0）+f（0），
所以f（0）=0
再令m=x，n=-x代入条件，得f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数
（2）令m=n=1
得f（2）=f（1）+f（1）=-2-2=-4，
再令m=n=2
得f（4）=f（2）+f（2）=-4-4=-8，
∵f（x）是奇函数
∴f（-4）=-f（4）=8，
∵函数f（x）在R上单调递减．
∴函数f（x）在区间[-4，4]上的最大值为，8，最小值为-8．

点评：本题给出抽象函数，验证函数的特殊性质并讨论了函数的单调性与奇偶性．着重考查了对弈的运算法则、函数的单调性与奇偶性等知识，属于中档题．利用“赋值法”使抽象函数问题具体化，是解决这类问题的关键所在．