Question

已知

AC

=(cos

x

2

+sin

x

2

，-sin

x

2

），

BC

=(cos

x

2

-sin

x

2

，2cos

x

2

)，设f（x）=

AC

•

BC

（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）设关于x的方程f（x）=a在[-

π

2

，

π

2

]有两个不相等的实数根，求a的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，根据平面向量的数量积的坐标运算，并借助于二倍角公式化简函数解析式：f（x）=

2

cos（x+

π

4

），然后，根据三角函数的图象和性质求解；
（2）根据方程f（x）=a，得到cos（x+

π

4

）=

2

2

a，然后，结合x∈[-

π

2

，

π

2

]，最后，利用三角函数的图象进行求解．

解答： 解：（1）∵f（x）=

AC

•

BC

∴f（x）=（cos

x

2

+sin

x

2

）•（cos

x

2

-sin

x

2

）+（-sin

x

2

）•2cos

x

2

=cos（2×

x

2

）-sin（2×

x

2

）-2sin

x

2

cos

x

2

=cosx-sinx=

2

cos（x+

π

4

），
∴f（x）的最小正周期T=2π．
又由2kπ≤x+

π

4

≤π+2kπ，k∈Z，
∴-

π

4

+2kπ≤x≤

3π

4

+2kπ，k∈Z．
故f（x）的单调递减区间是[-

π

4

+2kπ，

3π

4

+2kπ]（k∈Z）．
（2）由f（x）=a，
∴

2

cos（x+

π

4

）=a，
∴cos（x+

π

4

）=

2

2

a，
又x∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，数形结合得

2

2

≤

2

2

a＜1
∴1≤a＜

2

，
∴a的取值范围是[1，

2

）．

点评：本题重点考查了三角公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．