题目内容
14．在椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$上求一点M，使点M到直线x+2y-10=0的距离最小，则点M的坐标为$（\frac{9}{5}，\frac{8}{5}）$．分析 由题意设出与直线x+2y-10=0平行的直线方程为直线x+2y+m=0，联立直线方程和椭圆方程，利用判别式等于0求得m，进一步求得M的坐标．
解答 解：设与直线x+2y-10=0平行的直线方程为直线x+2y+m=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y+m=0}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得25x2+18mx+9m2-144=0．
由△=（18m）2-100（9m2-144）=0，得m=±5．
则当m=5时，直线x+2y-5=0与椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的切点M到直线x+2y-10=0的距离最小，
此时25x2+18mx+9m2-144=0化为25x2+90x-81=0．
解得x=$\frac{9}{5}$，代入x+2y-5=0得y=$\frac{8}{5}$．
∴点M的坐标为$（\frac{9}{5}，\frac{8}{5}）$．
故答案为：$（\frac{9}{5}，\frac{8}{5}）$．
点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．
练习册系列答案
课课通课程标准思维方法与能力训练系列答案
相关题目
5．已知i是虚数单位，复数z（1-i）=i2014，则z的共轭复数为（ ）
| A． | -$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$i | B． | $\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$i | C． | $\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$i | D． | -$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$i |
2．已知函数f（x）=x2-2x，g（x）=2x+a，若对于任意x1∈[-1，2]，均存在x2∈[-1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（ ）
| A． | [-1，1] | B． | （-∞，-1]∪[1，+∞） | C． | [-1，2] | D． | [3，+∞） |
6．下列命题中，正确命题的序号是 ②③⑤⑥．
①过点（1，2）且在坐标轴上的截距相等的直线方程是x+y=3；
②函数f（x）的定义域是R，f（-1）=2，对?x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（-1，+∞）；
③根据表格中的数据，可以判定方程ex-x-6=0的一个根所在的区间为（2，3）；
④已知双曲线的渐近线方程是5x±12y=0，则以双曲线的顶点为焦点，以双曲线的焦点为顶点的椭圆的离心率e=$\frac{12}{13}$；
⑤设函数f（x）=2lnx+2x-a，若存在b∈[1，e]，使得f[f（b）]=b成立，则实数a的取值范围是[1，2+e]；
⑥函数f（x）=（1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…-$\frac{{x}^{2014}}{2014}$+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$）cos2x在区间[-3，3]上零点有5个．
①过点（1，2）且在坐标轴上的截距相等的直线方程是x+y=3；
②函数f（x）的定义域是R，f（-1）=2，对?x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（-1，+∞）；
③根据表格中的数据，可以判定方程ex-x-6=0的一个根所在的区间为（2，3）；
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| ex | 0.37 | 1 | 2.72 | 7.39 | 20.09 |
| x+6 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
⑤设函数f（x）=2lnx+2x-a，若存在b∈[1，e]，使得f[f（b）]=b成立，则实数a的取值范围是[1，2+e]；
⑥函数f（x）=（1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…-$\frac{{x}^{2014}}{2014}$+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$）cos2x在区间[-3，3]上零点有5个．
3．已知角α的终边经过点（3，-4），则cosα的值为（ ）
| A． | -$\frac{3}{4}$ | B． | $\frac{3}{5}$ | C． | -$\frac{4}{5}$ | D． | -$\frac{4}{3}$ |